2990. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
угол A
равен 30^{\circ}
. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, D
— точка пересечения отрезка BI
с этой окружностью. Докажите, что отрезки AI
и CD
перпендикулярны.
Указание. Пусть E
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
. Докажите, что треугольник DIE
равносторонний.
Решение. Пусть E
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
, H
— точка пересечения луча AI
с отрезком CD
.
Поскольку I
— точка пересечения биссектрис данного треугольника, \angle IBE=30^{\circ}
. Поэтому \angle BIE=60^{\circ}
, значит, равнобедренный треугольник DIE
— равносторонний. Тогда
\angle BED=90^{\circ}-\angle DEI=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.
Треугольник CDE
равнобедренный (CE=IE=ED
), а BED
— его внешний угол, поэтому
\angle DCE=\angle CDE=15^{\circ},~\angle ACH=\angle ACB-\angle DCE=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}.
Из треугольника AHC
находим, что
\angle AHC=180^{\circ}-75^{\circ}-15^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно, AI\perp CD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Блинков Ю. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2011, LXXIV, 9 класс