2995. В равнобедренном треугольнике ABC
на основании BC
взята точка D
, а на боковой стороне AB
— точки E
и M
, причём AM=ME
и отрезок DM
параллелен стороне AC
. Докажите, что AD+DE\gt AB+BE
.
Указание. Отметьте середину K
отрезка DE
и рассмотрите треугольники ADE
и DKM
.
Решение. Пусть x=AM=ME
, y=BE
. Так как DM\parallel AC
, то \angle MDB=\angle ACB=\angle ABD
и DM=MB=x+y
.
Обозначим через K
середину отрезка DE
. Тогда MK
— средняя линия в треугольнике ADE
и AD=2MK
. По неравенству треугольника отсюда получаем, что
AD+DE=2(DK+KM)\gt2MD=2x+2y=(2x+y)+y=AB+BE.