2997. Из произвольной точки M
опущены перпендикуляры MK_{1}
, …, MK_{n}
на все стороны правильного n
-угольника. Докажите, что
\overrightarrow{MK_{1}}+\dots+\overrightarrow{MK_{n}}=\frac{n}{2}\cdot\overrightarrow{MO},
где O
— центр n
-угольника.
Указание. Если O
— центр правильного многоугольника A_{1}\dots A_{n}
, то
\overrightarrow{OA_{1}}+\dots+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}.
Решение. Заметим, что если O
— центр правильного многоугольника A_{1}\dots A_{n}
, то
\overrightarrow{OA_{1}}+\dots+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}.
Опустим перпендикуляры OP_{1},\dots,OP_{n}
на стороны данного правильного многоугольника (OP_{i}\parallel MK_{i})
, затем опустим из точки M
перпендикуляры MB_{i}
на прямые OP_{i}
(при чётном n
прямые OP_{i}
и OP_{i+\frac{n}{2}}
, где i=1
, 2, …, \frac{n}{2}
, совпадают и B_{i}=B_{i+\frac{n}{2}}
).
Поскольку \overrightarrow{MK_{i}}=\overrightarrow{B_{i}P_{i}}=\overrightarrow{B_{i}O}+\overrightarrow{OP_{i}}
и P_{1}P_{2}\dots P_{n}
— правильный n
-угольник с центром O
, то
\overrightarrow{MK_{1}}+\overrightarrow{MK_{2}}+\dots+\overrightarrow{MK_{n}}=(\overrightarrow{B_{1}O}+\overrightarrow{OP_{1}})+(\overrightarrow{B_{2}O}+\overrightarrow{OP_{2}})+\dots+(\overrightarrow{B_{n}O}+\overrightarrow{OP_{n}})=
=(\overrightarrow{B_{1}O}+\overrightarrow{B_{2}O}+\dots+\overrightarrow{B_{n}O})+(\overrightarrow{OP_{1}}+\overrightarrow{OP_{2}}+\dots+\overrightarrow{OP_{n}})=
=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{B_{1}O}+\overrightarrow{BO_{2}}+\dots+\overrightarrow{B_{n}O}.
Докажем, что точки B_{1}
, B_{2}
, …, B_{n}
лежат в вершинах правильного m
-угольника (где m=n
, если n
нечётно, и m=\frac{n}{2}
, если n
чётно) с центром в середине O_{1}
отрезка MO
.
Точки B_{1}
, B_{2}
, …, B_{n}
лежат на окружности с диаметром MO
(так как \angle MB_{i}O=90^{\circ}
), поэтому достаточно доказать, что угловая величина любой из дуг, на которые эта окружность разбивается точками B_{1}
, B_{2}
, …, B_{n}
равна \frac{360^{\circ}}{n}
.
Пусть B_{i}B_{j}
— одна из этих дуг, и она не содержит точку O
. Тогда угол B_{i}OB_{j}
есть один из 2m
равных углов, на которые разбивается плоскость прямыми OB_{i}=OP_{i}
. Следовательно, \angle B_{i}OB_{j}=\frac{180^{\circ}}{m}
и \smile B_{i}B_{j}=\frac{360^{\circ}}{m}
. Дуга, содержащая точку O
, также имеет величину 360^{\circ}-(m-1)\cdot\frac{360^{\circ}}{m}=\frac{360^{\circ}}{m}
.
Из доказанного вытекает, что
\overrightarrow{O_{1}B_{1}}+\overrightarrow{O_{1}B_{2}}+\dots+\overrightarrow{O_{1}B_{n}}=\overrightarrow{0}.
Следовательно,
\overrightarrow{MK_{1}}+\overrightarrow{MK_{2}}+\dots+\overrightarrow{MK_{n}}=\overrightarrow{B_{1}O}+\overrightarrow{B_{2}O}+\dots+\overrightarrow{B_{n}O}=
=(\overrightarrow{B_{1}O_{1}}+\overrightarrow{O_{1}O})+(\overrightarrow{B_{2}O_{1}}+\overrightarrow{O_{1}O})+\dots+(\overrightarrow{B_{n}O_{1}}+\overrightarrow{O_{1}O})=
=\overrightarrow{B_{1}O_{1}}+\overrightarrow{B_{2}O_{1}}+\dots+\overrightarrow{B_{n}O_{1}}+n\overrightarrow{O_{1}O}=\overrightarrow{0}+n\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{MO}=\frac{n}{2}\cdot\overrightarrow{MO}.