3007. Точки M
и N
принадлежат соответственно сторонам AB
и AC
треугольника ABC
или их продолжениям. Докажите, что
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}.
Указание. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Решение. Первый способ. Поскольку высоты треугольников AMC
и ABC
, проведённые из общей вершины C
, совпадают, то
S_{AMC}=\frac{AM}{AB}\cdot S_{\triangle ABC}.
Аналогично находим, что
S_{AMN}=\frac{AN}{AC}\cdot S_{\triangle AMC}.
Поэтому
S_{AMN}=\frac{AN}{AC}\cdot S_{\triangle AMC}=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{AM}{AB}\cdot S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}.
Второй способ. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\alpha,
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AN\cdot\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AM\cdot AN\cdot\sin\alpha,
где \alpha
либо равен углу \angle BAC
, либо дополняет его до 180^{\circ}
. Тогда
\frac{S_{\triangle AMN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AM\cdot AN\cdot\sin\alpha}{\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\alpha}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}.