3017. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
Указание. Указанные треугольники дополняют треугольник, примыкающий к одному из оснований, до равновеликих треугольников.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
, основания которой — AD
и BC
. Тогда
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD},~S_{\triangle CMD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AMD},~S_{\triangle AMB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AMD}.
Следовательно, S_{\triangle AMB}=S_{\triangle CMD}
.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 292, с. 232
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.124, с. 167
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 35, с. 198
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 113(1), с. 89
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — № 12, с. 261