3017. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.
Указание. Указанные треугольники дополняют треугольник, примыкающий к одному из оснований, до равновеликих треугольников.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
, основания которой — AD
и BC
. Тогда
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD},~S_{\triangle CMD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AMD},~S_{\triangle AMB}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle AMD}.
Следовательно, S_{\triangle AMB}=S_{\triangle CMD}
.