3018. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Указание. Площадь данного треугольника равна сумме площадей четырёх треугольников, на которые диагонали разбивают четырёхугольник.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
(рис. 1). Обозначим AM=x
, BM=y
, CM=z
, DM=t
, \angle AMB=\alpha
. Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle AMB}+S_{\triangle BMC}+S_{\triangle CMD}+S_{\triangle AMD}=
=\frac{1}{2}xy\sin\alpha+\frac{1}{2}yz\sin(180^{\circ}-\alpha)+\frac{1}{2}zt\sin\alpha+\frac{1}{2}xt\sin(180^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}(xy+yz+zt+xt)\sin\alpha=\frac{1}{2}(x+z)(y+t)\sin\alpha=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha.
Второй способ. Через каждую из двух противоположных вершин четырёхугольника проведём прямые, параллельные диагонали, соединяющей две другие вершины (рис. 2). То же проделаем для двух других вершин. Получим параллелограмм, стороны которого равны диагоналям данного четырёхугольника. Угол между соседними сторонами полученного параллелограмма равен углу между диагоналями данного четырёхугольника, а площадь вдвое больше. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними, то площадь данного четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Третий способ. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, AP
и CQ
— высоты треугольников ABD
и CBD
, а угол между прямыми AC
и BD
равен \varphi
(рис. 3). Тогда
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AP=\frac{1}{2}BD\cdot AM\sin\varphi,~S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}BD\cdot CQ=\frac{1}{2}BD\cdot CM\sin\varphi.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}=\frac{1}{2}BD\cdot AM\sin\varphi+\frac{1}{2}BD\cdot CM\sin\varphi=
=\frac{1}{2}BD(AM+CM)\sin\varphi=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\varphi.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что это доказательство годится и для невыпуклого четырёхугольника (рис. 4).
Примечание. Следствие. Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей.