3020. Докажите. что если в трапеции ABCD
середину M
одной боковой стороны AB
соединить с концами другой боковой стороны CD
, то площадь полученного треугольника CMD
составит половину площади трапеции.
Указание. Докажите, что сумма площадей треугольников MBC
и MAD
равна половине площади данной трапеции.
Решение. Пусть высота данной трапеции равна h
. Тогда высоты треугольников MBC
и MAD
, проведённые из вершины M
, равны \frac{h}{2}
. Сумма площадей этих треугольников равна
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}h\cdot BC+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot h\cdot AD=\frac{1}{4}(BC+AD)h,
т. е. половине площади трапеции. Поэтому и площадь треугольника CMD
равна половине площади трапеции.