3028. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
. Найдите площадь данного треугольника.
Ответ. (\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}})^{2}
.
Указание. Каждый из получившихся трёх треугольников подобен данному. Найдите коэффициенты подобия.
Решение. Каждый из получившихся треугольников подобен данному с коэффициентом соответственно \frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S}}
, \frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S}}
, \frac{\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S}}
, где S
— искомая площадь данного треугольника ABC
.
Обозначим стороны этих треугольников, параллельные стороне BC
треугольника ABC
, через a
, b
и c
соответственно. Тогда
a+b+c=BC,
\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S}}=\frac{a}{BC},~\frac{\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S}}=\frac{b}{BC},~\frac{\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S}}=\frac{c}{BC}.
Сложив почленно последние три равенства, получим:
\frac{\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S}}=\frac{a+b+c}{BC}=1.
Отсюда находим, что
\sqrt{S}=\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}.
Следовательно,
S=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}})^{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1954, билет 13, № 1
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 54-13-1, с. 48
Источник: Устный вступительный экзамен в МФТИ. — 1954, № 1, билет 5
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 32
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.36, с. 15
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 7.24, с. 54
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — 10.394, с. 184