3030. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
взяты соответственно точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
, причём \frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=\frac{2}{1}
. Найдите площадь треугольника, вершины которого — попарные пересечения отрезков AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, если площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. \frac{1}{7}
.
Указание. Найдите отношение, в котором делятся точкой пересечения отрезки AA_{1}
и BB_{1}
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения отрезков AA_{1}
и BB_{1}
. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим AA_{1}
до пересечения с этой прямой в точке T
. Треугольники BA_{1}T
и CA_{1}A
подобны с коэффициентом 2. Поэтому BT=2AC=6AB_{1}
, а из подобия треугольников BKT
и B_{1}KA
находим, что
\frac{BK}{KB_{1}}=\frac{BT}{AB_{1}}=6.
Поэтому
S_{\triangle AB_{1}K}=\frac{1}{7}S_{\triangle ABB_{1}}=\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{21}.
Аналогично находим, что
S_{\triangle BMC_{1}}=S_{\triangle CNA_{1}}=\frac{1}{21},
где M
— точка пересечения BB_{1}
и CC_{1}
, а N
— AA_{1}
и CC_{1}
. Следовательно,
S_{\triangle MNK}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABB_{1}}-S_{\triangle BCC_{1}}-S_{\triangle CAA_{1}}+S_{\triangle AKB_{1}}+S_{\triangle BMC_{1}}+S_{\triangle CNA_{1}}=
=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{21}+\frac{1}{21}+\frac{1}{21}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 138, с. 31
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1942, задача 3
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1953, билет 3, № 3; 1959, билет 14, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 48-14-4, с. 75
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — № 15, с. 274
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 7.32, с. 55