3032. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
параллелограмма ABCD
взяты соответственно точки M
, N
, K
и L
, причём \frac{AM}{MB}=\frac{CK}{KD}=\frac{1}{2}
, а \frac{BN}{NC}=\frac{DL}{LA}=\frac{1}{3}
. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — пересечения отрезков AN
, BK
, CL
и DM
, если площадь параллелограмма ABCD
равна 1.
Ответ. \frac{6}{13}
.
Указание. Найдите отношение, в котором отрезок CL
делится точкой пересечения с отрезком DM
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения отрезков AN
и BK
, Q
— BK
и CL
, T
— CL
и DM
, R
— AN
и DM
. Продолжим DM
до пересечения с продолжением CB
в точке O
.
Из подобия образовавшихся треугольников OMB
и DMA
, OTC
и DTL
находим, что \frac{CT}{TL}=\frac{12}{1}
. Поэтому
S_{\triangle DTL}=\frac{1}{13}S_{\triangle CLD}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{8}.
Аналогично
S_{\triangle BPN}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{8},~S_{\triangle CKQ}=S_{\triangle ARM}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{6}.
Следовательно,
S_{PQTR}=S_{ABCD}-2S_{\triangle BCK}-2S_{\triangle ABN}+2S_{\triangle BPN}+2S_{\triangle ARM}=
=1-\frac{2}{6}-\frac{2}{8}+\frac{2}{13}\cdot\frac{1}{8}+\frac{2}{13}\cdot\frac{1}{6}=\frac{6}{13}.