3034. Трапеция
ABCD
разделена прямой, параллельной её основаниям
AD
и
BC
, на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, если основания трапеции равны
a
и
b
.
Ответ.
\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Указание. С помощью дополнительных построений получите подобные треугольники.
Решение. Первый способ. Пусть точки
M
и
N
расположены на боковых сторонах
AB
и
CD
трапеции
ABCD
,
P
— точка пересечения с
MN
прямой, проходящей через точку
C
параллельно
AB
,
Q
— точка пересечения с
AD
прямой, проходящей через точку
N
параллельно
AB
. Обозначим
MN=x
;
h_{1}
и
h_{2}
— высоты подобных треугольников
PCN
и
QND
(рис. 1).
Пусть
BC=a
и
AD=b
(
b\gt a
). Из равенства площадей трапеций
BMNC
и
MADN
следует, что
(x+a)h_{1}=(b+x)h_{2},

откуда
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{b+x}{x+a}
.
Из подобия треугольников
CPN
и
NQD
следует, что
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{x-a}{b-x}
. Поэтому
\frac{b+x}{x+a}=\frac{x-a}{b-x}.

Из этого уравнения находим, что
x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Второй способ. Пусть
O
— точка пересечения продолжений боковых сторон
AB
и
DC
(рис. 2),
S
— площадь треугольника
BOC
,
MN=x
— искомый отрезок. Тогда
S_{\triangle MNO}-S=S_{\triangle AOD}-S_{\triangle MNO}
, или
\frac{x^{2}}{a^{2}}\cdot S-S=\frac{b^{2}}{a^{2}}\cdot S-\frac{x^{2}}{a^{2}}\cdot S.

Отсюда находим, что
x^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}
.


Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1962, билет 2, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 62-2-2, с. 90
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 10, с. 178
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — № 21, с. 262
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.318, с. 180
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 4.30, с. 32
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 115(а), с. 21
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.35, с. 15