3034. Трапеция ABCD
разделена прямой, параллельной её основаниям AD
и BC
, на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, если основания трапеции равны a
и b
.
Ответ. \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Указание. С помощью дополнительных построений получите подобные треугольники.
Решение. Первый способ. Пусть точки M
и N
расположены на боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
, P
— точка пересечения с MN
прямой, проходящей через точку C
параллельно AB
, Q
— точка пересечения с AD
прямой, проходящей через точку N
параллельно AB
. Обозначим MN=x
; h_{1}
и h_{2}
— высоты подобных треугольников PCN
и QND
(рис. 1).
Пусть BC=a
и AD=b
(b\gt a
). Из равенства площадей трапеций BMNC
и MADN
следует, что
(x+a)h_{1}=(b+x)h_{2},
откуда \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{b+x}{x+a}
.
Из подобия треугольников CPN
и NQD
следует, что \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{x-a}{b-x}
. Поэтому
\frac{b+x}{x+a}=\frac{x-a}{b-x}.
Из этого уравнения находим, что x=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}
.
Второй способ. Пусть O
— точка пересечения продолжений боковых сторон AB
и DC
(рис. 2), S
— площадь треугольника BOC
, MN=x
— искомый отрезок. Тогда S_{\triangle MNO}-S=S_{\triangle AOD}-S_{\triangle MNO}
, или
\frac{x^{2}}{a^{2}}\cdot S-S=\frac{b^{2}}{a^{2}}\cdot S-\frac{x^{2}}{a^{2}}\cdot S.
Отсюда находим, что x^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}
.
