3046. В трапеции ABCD
боковая сторона AB
равна основанию BC
, угол BAD
равен 60^{\circ}
. Диагональ BD
равна 3. Площадь треугольника ACD
относится к площади треугольника ABC
, как 2:1
. Найдите все стороны трапеции ABCD
.
Ответ. AB=BC=CD=\sqrt{3}
, AD=2\sqrt{3}
.
Указание. Через вершину C
проведите прямую, параллельную AB
.
Решение. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке K
. Тогда ABCK
— ромб.
Поскольку
\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{BC}=2,
то AD=2BC=2AK
. Следовательно, KBCD
— также ромб с острым углом 60^{\circ}
.
Если M
— точка пересечения прямых CK
и BD
, то BM
— высота равностороннего треугольника KBC
. Поэтому
CM=BM\ctg60^{\circ}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
CD=BC=AB=AK=CK=\sqrt{3},~AD=2AK=2\sqrt{3}.