3048. Внутри треугольника ABC
взята точка P
так, что площади треугольников ABP
, BCP
и ACP
равны. Докажите, что P
— точка пересечения медиан треугольника.
Указание. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек B
и C
на прямую AP
, равны.
Решение. Треугольники ABP
и ACP
имеют общую сторону AP
и равновелики. Поэтому перпендикуляры BM
и CN
, опущенные из точек B
и C
на прямую AP
, равны. Следовательно, прямоугольные треугольники BMK
и CNK
(K
— точка пересечения прямых AP
и BC
) равны. Поэтому прямая AP
проходит через середину стороны BC
. Аналогично докажем, что точка P
лежит на двух других медианах.