3063. В треугольнике ABC
проведены медианы BD
и CE
; M
— их точка пересечения. Докажите, что треугольник BMC
равновелик четырёхугольнику ADME
.
Указание. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Проведём медиану AK
. Поскольку \frac{MB}{MD}=2
, то
S_{\triangle AMD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}.
Аналогично
S_{\triangle AME}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC},~S_{\triangle CMK}=S_{\triangle BMK}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}.
Следовательно, S_{ADME}=S_{\triangle BMC}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.303, с. 179