3069. В параллелограмме ABCD
точка E
делит пополам сторону CD
, биссектриса угла ABC
пересекает в точке O
отрезок AE
. Найдите площадь четырёхугольника OBCE
, зная, что AD=a
, DE=b
, \angle ABO=\alpha
.
Ответ. \frac{ab(3a-b)\sin2\alpha}{2(a+b)}
.
Указание. Продолжите AE
до пересечения с прямой BC
и примените свойство биссектрисы треугольника.
Решение. Поскольку \angle ABC=2\alpha
и CD=2DE=2b
, то
S_{ABCD}=2ab\sin2\alpha.
Пусть K
— точка пересечения прямых BC
и AE
. Поскольку треугольники DEA
и CEK
равны, то
S_{\triangle CEK}=S_{\triangle DEA}=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{2}ab\sin2\alpha,
S_{\triangle ABK}=S_{ABCD}=2ab\sin2\alpha.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{OK}{AK}=\frac{BK}{BK+AB}=\frac{a}{a+b}.
Поэтому
S_{\triangle BOK}=\frac{OK}{AK}S_{\triangle ABK}=\frac{2a^{2}b\sin2\alpha}{a+b},
S_{OBCE}=S_{\triangle BOK}-S_{\triangle CEK}=\frac{2a^{2}b\sin2\alpha}{a+b}-\frac{1}{2}ab\sin2\alpha=\frac{ab(3a-b)\sin2\alpha}{2(a+b)}.