3075. В треугольнике ABC
из вершины A
проведена прямая, пересекающая сторону BC
в точке D
, находящейся между точками B
и C
, причём \frac{CD}{BC}=\alpha
(\alpha\lt\frac{1}{2}
). На стороне BC
между точками B
и D
взята точка E
и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC
и пересекающая сторону AB
в точке F
. Найдите отношение площадей трапеции ACEF
и треугольника ADC
, если известно, что CD=DE
.
Ответ. 4(1-\alpha)
.
Указание. Выразите площади трапеции ACEF
и треугольника ADC
через площадь треугольника ABC
.
Решение. Обозначим BC=x
. Тогда
CD=\alpha x,~DE=CD=\alpha x,~CE=2\alpha x,~BE=(1-2\alpha)x,
S_{\triangle FBE}=(1-2\alpha)^{2}S_{\triangle ABC},
S_{ACEF}=(1-(1-2\alpha)^{2})S_{\triangle ABC}=4\alpha(1-\alpha)S_{\triangle ABC},
S_{\triangle ADC}=\frac{CD}{BC}S_{\triangle ABC}=\alpha S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
\frac{S_{ACEF}}{S_{\triangle ADC}}=4(1-\alpha).
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1967, № 3, вариант 1
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 1, № 3, с. 68
Источник: Вступительный экзамен в МИТХТ. — 1979