3076. Дана трапеция MNPQ
с основаниями MQ
и NP
. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковую сторону MN
в точке A
, а боковую сторону PQ
— в точке B
. Отношение площадей трапеций ANPB
и MABQ
равно \frac{2}{7}
. Найдите AB
, если NP=4
, MQ=6
.
Ответ. \frac{2\sqrt{46}}{3}
.
Указание. Проведите через точки P
и B
прямые, параллельные стороне MN
, и рассмотрите полученные подобные треугольники.
Решение. Обозначим AB=x
. Пусть h_{1}
и h_{2}
— высоты трапеций ANPB
и MAPQ
. Тогда
\frac{(x+4)h_{1}}{(x+6)h_{2}}=\frac{2}{7}.
Через точку P
проведём прямую, параллельную NA
, до пересечения с отрезком AB
в точке C
, а через точку B
— прямую, параллельную AM
, до пересечения с отрезком MQ
в точке D
. Тогда h_{1}
и h_{2}
— высоты треугольников PCB
и BDQ
. Поскольку эти треугольники подобны, то
\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{BC}{QD}=\frac{x-4}{6-x}.
Таким образом, имеем уравнение
\frac{(x-4)(x+4)}{(x+6)(6-x)}=\frac{2}{7},~\mbox{или}~\frac{x^{2}-16}{36-x^{2}}=\frac{2}{7}.
Отсюда находим, что
x=\frac{2\sqrt{46}}{3}.
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 77, с. 190