3078. В трапеции MPQF
основания MF=24
, PQ=4
. Высота трапеции равна 5. Точка N
делит боковую сторону на отрезки MN
и NP
. Отрезок MN
в три раза больше отрезка NP
. Найдите площадь треугольника NQF
.
Ответ. \frac{45}{2}
.
Указание. Продолжите FN
до пересечения с прямой QP
и рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники.
Решение. Пусть h=5
— высота данной трапеции. Продолжим отрезок FN
до пересечения с прямой QP
в точке A
. Из подобия треугольников APN
и FMN
находим, что
\frac{AN}{NF}=\frac{PN}{NM}=\frac{1}{3},~AP=\frac{1}{3}MF=8.
Тогда
AQ=AP+PQ=8+4=12,~S_{\triangle AQF}=\frac{1}{2}AQ\cdot h=30.
Следовательно,
S_{\triangle NQF}=\frac{FN}{AF}\cdot S_{\triangle AQF}=\frac{3}{4}\cdot30=\frac{45}{2}.
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 93, с. 191