3082. Площадь трапеции равна 3, основания равны 1 и 2. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.
Ответ. \frac{1}{3}
, \frac{2}{3}
, \frac{2}{3}
, \frac{4}{3}
.
Указание. Выразите площадь данной трапеции через площадь треугольника, прилежащего к одному из оснований трапеции.
Решение. Пусть AD
и BC
— основания трапеции ABCD
, AD=2
, BC=1
, M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Обозначим S_{\triangle BMC}=S
. Тогда из подобия треугольников BMC
и DMA
(коэффициент подобия равен \frac{1}{2}
) следует, что S_{\triangle DMA}=4S
, а так как \frac{CM}{MA}=\frac{BM}{MD}=\frac{1}{2}
, то
S_{\triangle CMD}=S_{\triangle BMA}=\frac{1}{2}S_{\triangle DMA}=2S.
Следовательно, S+4S+2S+2S=3
. Отсюда находим, что S=\frac{1}{3}
.