3088. В четырёхугольнике ABCD
острый угол между диагоналями равен \alpha
. Через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Найдите отношение площади четырёхугольника, ограниченного этими прямыми, к площади четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 2\ctg^{2}\alpha
.
Указание. Если d_{1}
и d_{2}
— диагонали четырёхугольника, то высоты полученного параллелограмма равны d_{1}\cos\alpha
и d_{2}\cos\alpha
.
Решение. Пусть d_{1}
и d_{2}
— диагонали четырёхугольника ABCD
. Новый четырёхугольник — параллелограмм. Его высоты равны проекциям диагоналей AC
и BD
друг на друга, т. е. d_{1}\cos\alpha
и d_{2}\cos\alpha
. Обозначим через S'
площадь этого параллелограмма.
Поскольку площадь параллелограмма равна произведению двух его высот, делённому на синус угла между ними (равного углу между сторонами), то
S'=\frac{d_{1}\cos\alpha\cdot d_{2}\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{d_{1}d_{2}\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}.
Следовательно,
\frac{S'}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{d_{1}d_{2}\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\alpha}=2\ctg^{2}\alpha.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1975, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 75-6-3, с. 180
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 84, с. 146