3089. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
, а угол между ними равен \alpha
. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры окружностей, описанных соответственно около треугольников AMB
, BCM
, CDM
и DAM
. Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD
и O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
.
Ответ. 2\sin^{2}\alpha
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1975, билет 6, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 75-6-3, с. 180
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 208, с. 24