3095. В выпуклом четырёхугольнике ACBD
, площадь которого равна 25, проведены диагонали. Известно, что площадь треугольника ABC
вдвое больше площади треугольника ACD
, а площадь треугольника BCD
втрое больше площади треугольника BDA
. Найдите площади треугольников ABC
, ACD
, ADB
и BCD
.
Ответ. 20, 10, 15, 5.
Указание. Составьте систему уравнений.
Решение. Обозначим S_{\triangle ABC}=x
, S_{\triangle ABD}=y
, S_{\triangle ACD}=z
и S_{\triangle BCD}=t
. Тогда по условию задачи
\syst{x+y=25\\z+t=25\\x=2z\\t=3y.\\}
Решив полученную систему, найдём искомые площади.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1971, билет 5, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 71-5-3, с. 147