3097. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=AC
) проведены биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Площадь треугольника ABC
относится к площади треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
как \frac{9}{2}
. Найдите отношение периметра треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
к периметру треугольника ABC
.
Ответ. \frac{2+\sqrt{19}}{15}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=AB=b
, S_{\triangle ABC}=S
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB_{1}}{AC}=\frac{b}{a+b},~\frac{CB_{1}}{CA}=\frac{a}{a+b}.
Тогда
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}-2S_{\triangle A_{1}CB_{1}}-S_{\triangle B_{1}AC_{1}}=
=S-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{a+b}\cdot S-\frac{b^{2}S}{(a+b)^{2}}=\frac{abS}{(a+b)^{2}}.
Таким образом, имеем уравнение
\frac{ab}{(a+b)^{2}}=\frac{2}{9},~\mbox{или}~2a^{2}-5ab+2b^{2}=0.
Отсюда находим: b=\frac{a}{2}
(что невозможно) или b=2a
. Тогда периметр треугольника ABC
равен 5a
,
AA_{1}=\sqrt{AC^{2}-CA^{2}}=\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.
Пусть D
— середина B_{1}C_{1}
. Поскольку
\frac{AD}{AA_{1}}=\frac{AB_{1}}{AC}=\frac{b}{a+b}=\frac{2}{3},
то
A_{1}D=\frac{1}{3}AA_{1}=\frac{a\sqrt{15}}{6},~B_{1}C_{1}=\frac{2}{3}BC=\frac{2a}{3},~A_{1}B_{1}=\sqrt{A_{1}D^{2}+B_{1}D^{2}}=\frac{a\sqrt{19}}{6}.
Следовательно, периметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
равен a\left(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{19}}{3}\right)
.