3099. В треугольнике ABC
на стороне AC
взята точка M
, а на стороне BC
— точка N
. Отрезки AN
и BM
пересекаются в точке O
. Найдите площадь треугольника CMN
, если площади треугольников OMA
, OAB
и OBN
соответственно равны s_{1}
, s_{2}
и s_{3}
.
Ответ. \frac{s_{1}s_{3}(s_{1}+s_{2})(s_{2}+s_{3})}{s_{2}(s^{2}_{2}-s_{1}s_{3})}.
Указание. Площади треугольников с равными высотами относятся как основания.
Решение. Обозначим S_{\triangle MNC}=q
, S_{\triangle OMN}=s_{4}
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle MBC}}=\frac{AM}{MC}=\frac{S_{\triangle ANM}}{S_{\triangle MNC}}.
Поэтому
\frac{s_{1}+s_{2}}{s_{3}+s_{4}+q}=\frac{s_{1}+s_{4}}{q}.
Отсюда находим, что
q=\frac{(s_{1}+s_{4})(s_{3}+s_{4})}{s_{2}-s_{4}},
а так как
\frac{s_{2}}{s_{1}}=\frac{OB}{OM}=\frac{s_{3}}{s_{4}},
то s_{4}=\frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}
.
Следовательно,
q=\frac{\left(s_{1}+\frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}\right)\left(s_{3}+\frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}\right)}{s_{2}-\frac{s_{1}s_{3}}{s_{2}}}=
=\frac{s_{1}s_{3}(s_{1}+s_{2})(s_{2}+s_{3})}{s_{2}(s^{2}_{2}-s_{1}s_{3})}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1971, билет 8, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 71-8-3, с. 149