3104. В трапеции ABCD
, где \angle BAD=45^{\circ}
, \angle CDA=60^{\circ}
, основание AD
равно 15, основание BC
равно 13, перпендикуляр к стороне AB
, восстановленный из точки M
, являющейся серединой стороны AB
, пересекается с перпендикуляром к стороне CD
, восстановленным из точки N
, являющейся серединой стороны CD
, в некоторой точке L
. Найдите отношение площади треугольника MNL
к площади трапеции ABCD
.
Ответ. \frac{7\sqrt{3}}{6}
.
Указание. Найдите высоты трапеции и треугольника MNL
.
Решение. Пусть BP=CQ=h
— высота трапеции ABCD
, а LT=h_{1}
— высота треугольника MNL
. Тогда
\frac{S_{\triangle MNL}}{S_{ABCD}}=\frac{MN\cdot h_{1}}{(AD+BC)h}=\frac{14h_{1}}{28h}=\frac{h_{1}}{2h}.
Из прямоугольных треугольников APB
и DQC
находим, что
AP=h,~DQ=\frac{h}{\sqrt{3}}.
Поскольку AP+QD=AD-BC=15-13=2
, то h+\frac{h}{\sqrt{3}}=2
. Поэтому h=\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}
.
Поскольку \angle LMN=45^{\circ}
и \angle MNL=30^{\circ}
, то
MT=TL=h_{1},~TN=TL\sqrt{3}=h_{1}\sqrt{3}.
Поскольку MT+TN=MN
, то h_{1}+h_{1}\sqrt{3}=14
. Отсюда находим, что h_{1}=\frac{14}{1+\sqrt{3}}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle MNL}}{S_{ABCD}}=\frac{h_{1}}{2h}=\frac{\frac{14}{1+\sqrt{3}}}{\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}}=\frac{7\sqrt{3}}{6}.