3108. В трапеции ABCD
отрезки AB
и CD
являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке K
. Найдите площадь треугольника AKD
, если AB=27
, DC=18
, AD=3
, BC=6\sqrt{2}
.
Ответ. \frac{54\sqrt{2}}{5}
.
Указание. Через вершину C
проведите прямую, параллельную AD
. Найдите высоту образовавшегося треугольника. Определите, какую часть составляет площадь треугольника AKD
от площади треугольника ADB
Решение. Проведём через точку C
прямую, параллельную AD
, до пересечения с основанием AB
в точке P
. Тогда в треугольнике PCB
:
CP=AD=3,~BC=6\sqrt{2},
BP=AB-AP=AB-DC=27-18=9.
Этот треугольник прямоугольный, так как BP^{2}=CP^{2}+BC^{2}
. Его высоту CQ
найдём из равенства PB\cdot CQ=CP\cdot BC
. Получим:
CQ=\frac{CP\cdot BC}{PB}=\frac{3\cdot6\sqrt{2}}{9}=2\sqrt{2}.
Высота треугольника ADB
также равна 2\sqrt{2}
. Тогда
S_{\triangle ADB}=27\sqrt{2}.
Из подобия треугольников DKC
и BKA
следует, что
\frac{DK}{KB}=\frac{DC}{AB}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}.
Поэтому \frac{DK}{DB}=\frac{2}{5}
. Следовательно,
S_{\triangle AKD}=\frac{DK}{DB}\cdot S_{\triangle ADB}=\frac{2}{5}\cdot27\sqrt{2}=\frac{54\sqrt{2}}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1979, вариант 3, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1983. — с. 77