3113. В трапеции ABCD
даны основания AD=8
и BC=4
. На продолжении стороны BC
выбрана такая точка M
, что прямая AM
отсекает от трапеции треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади трапеции. Найдите CM
.
Ответ. \frac{40}{3}
.
Указание. Найдите отношение \frac{CK}{KD}
, где K
— точка пересечения AM
и CD
.
Решение. Обозначим через S
площадь трапеции ABCD
. Пусть K
— точка пересечения прямой AM
со стороной CD
. Тогда по условию задачи S_{\triangle AKD}=\frac{1}{4}S
.
Поскольку S_{\triangle ACD}=2S_{\triangle ABC}
(AD=2BC)
, то
S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}S,~S_{\triangle AKC}=\frac{2}{3}S-\frac{1}{4}S=\frac{5}{12}S.
Поэтому
\frac{CK}{KD}=\frac{S_{\triangle AKC}}{S_{\triangle AKD}}=\frac{\frac{5}{12}S}{\frac{1}{4}S}=\frac{5}{3}.
Из подобия треугольников AKD
и MKC
следует, что
CM=\frac{AD\cdot CK}{KD}=\frac{8\cdot5}{3}=\frac{40}{3}.