3117. В параллелограмме ABCD
сторона AB
равна 6, а высота, проведённая к основанию AD
, равна 3. Биссектриса угла BAD
пересекает сторону BC
в точке M
, причём MC=4
. N
— точка пересечения биссектрисы AM
и диагонали BD
. Найдите площадь треугольника BNM
.
Ответ. \frac{27}{8}
.
Указание. Треугольник ABM
— равнобедренный.
Решение. Поскольку
\angle AMB=\angle MAD=\angle MAB,
то треугольник ABM
— равнобедренный, BM=AB=6
. Тогда
AD=BC=BM+MC=6+4=10.
Пусть NQ
и NP
— высоты подобных треугольников BNM
и DNA
. Поскольку PQ=3
, то
NQ=\frac{MB\cdot PQ}{AD+MB}=\frac{6\cdot3}{16}=\frac{9}{8}.
Следовательно,
S_{\triangle BNM}=\frac{1}{2}BM\cdot NQ=\frac{27}{8}.