3119. В трапеции ABCD
основание AB
в три раза больше основания CD
. На основании CD
взята точка M
, причём MC=2MD
. N
— точка пересечения прямых BM
и AC
. Найдите отношение площади треугольника MNC
к площади всей трапеции.
Ответ. \frac{1}{33}
.
Решение. Пусть h
— высота данной трапеции. Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(CD+AB)h=\frac{1}{2}(CD+3CD)h=2h\cdot CD.
Из подобия треугольников MNC
и BNA
следует, что
\frac{MN}{NB}=\frac{MC}{AB}=\frac{\frac{2}{3}CD}{3CD}=\frac{2}{9}.
Поэтому
S_{\triangle MNC}=\frac{2}{11}S_{\triangle MBC}=\frac{2}{11}\cdot\frac{1}{2}MC\cdot h=\frac{2}{11}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot CD\cdot h=
=\frac{1}{33}\cdot2\cdot CD\cdot h=\frac{1}{33}S_{ABCD}.