3122. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом B
биссектриса угла A
пересекает сторону BC
в точке D
. Известно, что BD=4
, DC=6
. Найдите площадь треугольника ADC
.
Ответ. 12\sqrt{5}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}.
Обозначим AB=2x
, AC=3x
. По теореме Пифагора
BC^{2}+AB^{2}=AC^{2},~\mbox{или}~100+4x^{2}=9x^{2}.
Отсюда находим, что x=2\sqrt{5}
. Тогда
AB=4\sqrt{5},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AB=20\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ADC}=\frac{DC}{BC}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}=12\sqrt{5}.