3129. Дан треугольник ABC
. На сторонах AB
и BC
взяты точки M
и N
соответственно, причём AB=5AM
, BC=3BN
. Отрезки AN
и CM
пересекаются в точке O
. Найдите отношение площадей треугольников AOC
и ABC
.
Ответ. \frac{2}{11}
.
Указание. Через точку A
проведите прямую, параллельную BC
, и найдите отношение \frac{AO}{ON}
.
Решение. Через точку A
проведём прямую, параллельную BC
, до пересечения с прямой CO
в точке P
. Из подобия треугольников PAM
и CBM
следует, что
AP=\frac{BC\cdot AM}{MB}=\frac{1}{4}BC.
Из подобия треугольников PAO
и CNO
—
\frac{AO}{ON}=\frac{AP}{CN}=\frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{2}{3}BC}=\frac{3}{8}.
Поэтому
AO=\frac{3}{11}AN,~S_{\triangle AOC}=\frac{AO}{AN}S_{\triangle ANC}=\frac{3}{11}\cdot\frac{2}{3}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{2}{11}S_{\triangle ABC}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1975, № 2, вариант 3