3134. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали пересекаются в точке O
. Площади треугольников BOC
, COD
, AOD
равны соответственно 20, 40, 60. Найдите угол BAO
, если известно, что AB=15
, AO=8
, а угол BAO
больше 31^{\circ}
.
Ответ. 150^{\circ}
.
Указание. Площадь треугольника AOB
вдвое меньше площади треугольника AOD
.
Решение. Поскольку
\frac{BO}{OD}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2},
то
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOD}=30,
т. е.
\frac{1}{2}AO\cdot AB\sin\angle BAO=60\sin\angle BAO=30.
Отсюда находим, что \angle BAO=30^{\circ}
или \angle BAO=150^{\circ}
. Условию задачи удовлетворяет только второе решение.