3135. Прямая CE
пересекает сторону AB
треугольника ABC
в точке E
, а прямая BD
пересекает сторону AC
в точке D
. Прямые CE
и BD
пересекаются в точке O
. Площади треугольников BOE
, BOC
, COD
равны соответственно 15, 30, 24. Найдите угол DOE
, если известно, что OE=4
, OD=4\sqrt{3}
, а угол BOE
— острый.
Ответ. 120^{\circ}
.
Указание. OC=2OE
.
Решение. Поскольку
\frac{OC}{OE}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{BOE}}=\frac{30}{15}=2,
то OC=2OE=8
. Тогда
S_{\triangle COD}=\frac{1}{2}OD\cdot OC\sin\angle DOC=16\sqrt{3}\sin\angle BOE=24.
Отсюда находим, что \sin\angle BOE=\frac{\sqrt{3}}{2}
, а так как угол BOE
— острый, то \angle BOE=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle DOE=180^{\circ}-\angle BOE=120^{\circ}.