3137. На продолжениях медиан AK
, BL
и CM
треугольника ABC
взяты точки P
, Q
и R
, причём KP=\frac{1}{2}AK
, LQ=\frac{1}{2}BL
и MR=\frac{1}{2}CM
. Найдите площадь треугольника PQR
, если площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. \frac{25}{16}
.
Указание. Найдите коэффициент подобия треугольников KML
и PQR
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Треугольник KML
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом \frac{1}{2}
, а треугольник PQR
подобен треугольнику KLM
с коэффициентом
\frac{OP}{OK}=\frac{OK+KP}{OK}=\frac{\frac{1}{3}AK+\frac{1}{2}AK}{\frac{1}{3}AK}=\frac{5}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle PQR}=\frac{25}{4}S_{\triangle KLM}=\frac{25}{4}\cdot\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{25}{16}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1966, вариант 4, № 4
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 4, № 4, с. 48