3143. На продолжении стороны AB
за точку B
треугольника ABC
отложен отрезок AD
, причём AD:AB=\alpha
. На продолжении медианы BE
отложен отрезок EF
, причём EF:BE=\beta
. Найдите отношение площадей треугольников BDF
и ABC
.
Ответ. \frac{1}{2}(\alpha-1)(\beta+1)
.
Указание. Найдите отношение высоты FP
треугольника BDF
к высоте CM
треугольника ABC
.
Решение. Пусть P
, K
и M
— проекции точек F
, E
и C
на прямую AB
. Тогда
\frac{PF}{EK}=\frac{BF}{BE}=\beta+1,~\frac{EK}{CM}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle BDF}=\frac{1}{2}BD\cdot PF=\frac{1}{2}(\alpha-1)AB\cdot\frac{1}{2}(\beta+1)CM=
=\frac{1}{2}(\alpha-1)(\beta+1)\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CM=\frac{1}{2}(\alpha-1)(\beta+1)S_{\triangle ABC}.