3154. Стороны параллелограмма равны 3 и 2, а угол между ними равен
\arccos\frac{5}{16}
. Две взаимно перпендикулярные прямые делят параллелограмм на четыре равновеликие части. Найдите отрезки, на которые эти прямые делят стороны параллелограмма.
Ответ. 1 и 2;
\frac{2}{3}
и
\frac{4}{3}
.
Указание. Докажите, что точки пересечения указанных прямых со сторонами параллелограмма являются вершинами ромба.
Решение. Пусть точки
M
,
Q
,
N
и
P
принадлежат сторонам соответственно
BC
,
CD
,
AD
и
AB
параллелограмма
ABCD
,
AB=CD=2,~BC=AD=3,~\cos\angle BAD=\frac{5}{16}.

Поскольку трапеции
ABMN
и
DCMN
равновелики, то
BM+AN=MC+ND,~\mbox{или}~BM+(3-ND)=(3-BM)+ND.

Следовательно,
BM=ND
. Поэтому отрезок
MN
делит пополам диагональ
BD
. Тогда он проходит через точку
O
пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD
. Аналогично докажем, что
BP=DQ
и отрезок
PQ
также проходит через точку
O
. Кроме того
OM=ON
и
PO=OQ
. Поэтому четырёхугольник
MQNP
— ромб.
Обозначим
BM=ND=x
,
BP=DQ=y
,
\angle BAD=\alpha
. Тогда
MC=AN=3-x,~AP=CQ=2-y.

Поскольку
S_{PBMO}=S_{QOMC}
и
S_{\triangle OMP}=S_{\triangle OMQ}
, то
S_{\triangle PBM}=S_{\triangle QCM}
, или
\frac{1}{2}xy\sin\alpha=\frac{1}{2}(3-x)(2-y)\sin\alpha.

После упрощения получим уравнение
xy=(3-x)(2-y)
, из которого находим, что
y=2-\frac{2x}{3}
.
По теореме косинусов из треугольников
APN
и
BPM
находим, что
PN^{2}=(3-x)^{2}+(2-y)^{2}-2(3-x)(2-y)\cdot\frac{5}{16},

PM^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\cdot\frac{5}{16}.

Поскольку
PN=PM
, то
(3-x)^{2}+(2-y)^{2}-\frac{5}{8}(3-x)(2-y)=x^{2}+y^{2}+\frac{5xy}{8}.

Подставив
2-\frac{2x}{3}
вместо
y
и упростив, получим уравнение
x^{2}-7x+6=0.

Условию задачи удовлетворяет только один его корень
x=1
. Следовательно,
BM=1,~MC=2,~BP=y=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3},~AP=\frac{2}{3}.

Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 11, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-11-2, с. 119
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2012, № 5, 11 класс