3155. Дан треугольник ABC
. Найдите геометрическое место точек P
, для которых:
а) треугольники APB
и ABC
равновелики;
б) треугольники APB
и APC
равновелики;
в) треугольники APB
, APC
и BPC
равновелики.
Ответ. а) Две параллельные прямые, удалённые от прямой AB
на расстояние, равное высоте CH
треугольника ABC
;
б) две прямые, одна из которых проходит через точку A
параллельно BC
, а вторая содержит медиану треугольника ABC
, проведённую из вершины A
, причём сама точка A
исключается;
в) четыре точки: точка пересечения медиан треугольника ABC
и вершины треугольника, для которого стороны треугольника ABC
являются средними линиями.
Решение. а) Поскольку равновеликие треугольники APB
и ABC
имеют общее основание AB
, то равны их высоты, проведённые из вершин соответственно C
и P
. Значит, геометрическое место точек P
совпадает с геометрическим местом точек, удалённых от прямой AB
на расстояние, равное высоте CH
треугольника ABC
, а это, как известно, — две параллельные прямые, удалённые от прямой AB
на расстояние, равное CH
.
б) Поскольку равновеликие треугольники APB
и APC
имеют общее основание AP
, то равны их высоты, проведённые из вершин соответственно B
и C
. Значит, точки B
и C
равноудалены от прямой AP
. Следовательно, прямая AP
либо параллельна прямой BC
, либо проходит через середину отрезка BC
. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это две прямые, одна из которых проходит через точку A
параллельно BC
, а вторая содержит медиану треугольника ABC
, проведённую из вершины A
, причём сама точка A
исключается.
в) Из предыдущего рассуждения следует, что искомое ГМТ состоит из четырёх следующих точек: точка пересечения медиан треугольника ABC
и точки пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника ABC
параллельно противолежащим сторонам.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 206, с. 21
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.2, с. 83
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.2, с. 81