3156. На продолжениях сторон треугольника ABC
взяты точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
так, что \overrightarrow{AB_{1}}=2\overrightarrow{AB}
, \overrightarrow{BC_{1}}=2\overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{CA_{1}}=2\overrightarrow{AC}
. Найдите площадь треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна S
.
Ответ. 7S
.
Указание. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Поскольку
S_{\triangle A_{1}BB_{1}}=S_{\triangle A_{1}AB}=S_{\triangle ABC},
то S_{\triangle AA_{1}B_{1}}=2S
. Аналогично
S_{\triangle BB_{1}C_{1}}=S_{\triangle CC_{1}A_{1}}=2S.
Следовательно,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=7S.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.4, с. 83
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.4, с. 82