3157. Докажите, что если диагональ какого-нибудь четырёхугольника делит другую диагональ пополам, то она делит пополам и площадь четырёхугольника.
Указание. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
. Если AO=OC
, то
S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB},~S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COD}.
Следовательно,
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOD}=S_{\triangle COB}+S_{\triangle COD}=S_{\triangle CBD}.
Примечание. Верно и обратное, если диагональ какого-нибудь четырёхугольника делит его площадь пополам, то она делит пополам и другую диагональ четырёхугольника.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 111, с. 89