3158. Пусть M
и N
— середины противоположных сторон соответственно BC
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, отрезки AM
и BN
пересекаются в точке P
, а отрезки DM
и CN
— в точке Q
. Докажите, что сумма площадей треугольников APB
и CQD
равна площади четырёхугольника MPNQ
.
Указание. Опустите перпендикуляры из точек A
, N
и D
на прямую BC
.
Решение. Обозначим расстояния от точек A
, N
и D
до прямой BC
через h_{1}
, h_{2}
и h_{3}
соответственно, а площади треугольников BPM
и CQM
— через x
и y
. Тогда
S_{\triangle APB}+x=\frac{1}{2}BM\cdot h_{1},~S_{\triangle CQD}+y=\frac{1}{2}CM\cdot h_{3},~S_{MPNQ}+x+y=\frac{1}{2}BC\cdot h_{2}.
По теореме о средней линии трапеции
h_{2}=\frac{h_{1}+h_{3}}{2}.
Поэтому
S_{\triangle APB}+S_{\triangle CQD}+x+y=\frac{1}{2}BM\cdot h_{1}+\frac{1}{2}CM\cdot h_{3}=
=CM\cdot\frac{h_{1}+h_{3}}{2}=CM\cdot h_{2}=\frac{1}{2}BC\cdot h_{2}=S_{\triangle BNC}=S_{MPNQ}+x+y.
Следовательно,
S_{\triangle APB}+S_{\triangle CQD}=S_{MPNQ}.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1959, XXII, 1-й тур, 8 класс
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 8, с. 67
Источник: Дынкин Е. Б. и др. Математические задачи. — М.: Наука, 1966. — № 6, с. 8
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 12.10, с. 93