3159. Через точку, взятую на диагонали AC
параллелограмма ABCD
, проведены прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится таким образом на четыре параллелограмма, из которых два имеют своими диагоналями части диагонали AC
. Докажите, что два других параллелограмма равновелики.
Указание. Рассмотрите образовавшиеся подобные треугольники и воспользуйтесь формулой площади параллелограмма: S=ab\sin\alpha
.
Решение. Пусть M
— точка на диагонали AC
параллелограмма ABCD
; прямая, проходящая через точку M
параллельно AB
, пересекает стороны BC
и AD
в точках P
и Q
соответственно, а прямая, проходящая через точку M
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и CD
в точках F
и E
соответственно. Тогда из подобия треугольников CME
и MAQ
следует, что
\frac{CE}{ME}=\frac{MQ}{AQ},~CE\cdot AQ=ME\cdot MQ.
Поэтому
S_{MQDE}=MQ\cdot ME\sin\angle EMQ=CE\cdot AQ\sin\angle EMQ=
=MP\cdot MF\sin\angle FMP=S_{MPBF}.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 195, с. 20
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 290, с. 232
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 23(1), с. 79
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.19, с. 83
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009-2010, первый этап, задача 2, 9 класс; 2010-2011, второй этап, задача 4, 8 класс