3160. Через середину каждой диагонали выпуклого четырёхугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали; точка пересечения этих прямых соединена с серединами сторон четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник разбивается таким образом на четыре равновеликие части.
Указание. Докажите, что площадь каждой из указанных частей равна четверти площади данного четырёхугольника. (Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.)
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
, E
и F
— середины его диагоналей AC
и BD
; прямая, проходящая через точку E
параллельно BD
, пересекает прямую, проходящую через точку F
параллельно AC
, в точке P
. Тогда S_{\triangle LPM}=S_{\triangle LEM}
. Поэтому
S_{ALPM}=S_{\triangle ALM}+S_{\triangle LPM}=S_{\triangle ALM}+S_{\triangle LEM}=S_{ALEM}=\frac{1}{2}AE\cdot LM\sin\alpha,
где \alpha
— угол между диагоналями AC
и BD
.
Поскольку LM
— средняя линия треугольника ABD
, то LM=\frac{1}{2}BD
. Следовательно,
S_{ALPM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}BD\sin\alpha=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Аналогично для четырёхугольников BMPN
, CNPK
и DKPL
.