3162. Середина одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединена с концами другой диагонали. Докажите, что полученная ломаная делит четырёхугольник на две равновеликие части.
Указание. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Пусть M
— середина диагонали AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Тогда BM
и DM
— медианы треугольников ABC
и ADC
соответственно. Поэтому
S_{\triangle ABM}=S_{\triangle BCM},~S_{\triangle ADM}=S_{\triangle CDM}.
Следовательно,
S_{ABMD}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle ADM}=S_{\triangle BCM}+S_{\triangle CDM}=S_{CBMD}.