3164. Точка, расположенная на отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, соединена со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.
Указание. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Пусть M
и N
— середины оснований соответственно BC
и AD
трапеции ABCD
, P
— точка отрезка MN
. Тогда PM
и PN
— медианы треугольников PBC
и PAD
соответственно. Поэтому
S_{\triangle PBM}=S_{\triangle PCM},~S_{\triangle PAN}=S_{\triangle PDN}.
Трапеции ABMN
и NMCD
имеют соответственно равные основания и высоты. Поэтому S_{ABMN}=S_{NMCD}
. Следовательно,
S_{\triangle PAB}=S_{ABMN}-S_{\triangle PBM}-S_{\triangle PAN}=S_{NMCD}-S_{\triangle PCM}-S_{\triangle PDN}=S_{\triangle PCD}.