3171. Медиану AA_{0}
треугольника ABC
отложили от точки A_{0}
перпендикулярно стороне BC
во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через A_{1}
. Аналогично строятся точки B_{1}
и C_{1}
. Найдите углы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, если углы треугольника ABC
равны 30^{\circ}
, 30^{\circ}
и 120^{\circ}
.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle A=\angle B=30^{\circ}
, \angle B=120^{\circ}
. В треугольнике BCB_{1}
высота CB_{0}
является медианой, поэтому BC=B_{1}C
, а так как \angle BCB_{1}=2\angle BCA=60^{\circ}
, то этот треугольник равносторонний. Его медиана B_{1}A_{0}
является высотой, поэтому точки B_{1}
, A_{0}
и A_{1}
лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Аналогично точки B_{1}
, C_{0}
и C_{1}
лежат на серединном перпендикуляре к стороне AB
. Значит,
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Кроме того, прямоугольные треугольники BA_{0}B_{1}
и BC_{0}B_{1}
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому A_{0}B_{1}=C_{0}B_{1}
. Значит,
A_{1}B_{1}=A_{1}A_{0}+A_{0}B_{1}=AA_{0}+A_{0}B_{1}=CC_{0}+C_{0}B_{1}=C_{0}C_{1}+C_{0}B_{1}=C_{1}B_{1}.
Равнобедренный треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонний, следовательно, его углы равны по 60^{\circ}
.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2005-06, XXXII, окружной этап, 8 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 399, с. 52