3173. Пусть E
и F
— середины сторон BC
и AD
параллелограмма ABCD
. Найдите площадь четырёхугольника, образованного прямыми AE
, ED
, BF
и FC
, если известно, что площадь ABCD
равна S
.
Ответ. \frac{S}{4}
Решение. Пусть точка E
лежит на стороне BC
, а точка F
— на стороне AD
. Четырёхугольник ABEF
— параллелограмм, поэтому его диагональ BF
проходит через середину M
диагонали AE
. Аналогично, диагональ CF
параллелограмма DCEF
проходит через середину N
его диагонали DE
. Тогда MN
— средняя линия треугольника AED
, значит,
S_{\triangle EMN}=\frac{1}{4}S_{\triangle AED}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{8}S.
Четырёхугольник EMFN
— также параллелограмм, следовательно,
S_{EMFN}=2S_{\triangle EMN}=2\cdot\frac{1}{8}S=\frac{1}{4}S.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2, с. 82
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2, с. 81