3175. Каждую вершину выпуклого четырёхугольника площади S
отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырёхугольника через S'
. Докажите, что \frac{S'}{S}\lt3
.
Решение. Пусть точки A_{1}
и C_{1}
симметричны вершинам соответственно A
и C
четырёхугольника ABCD
относительно прямой BD
, а точки B_{1}
и D_{1}
симметричны вершинами соответственно B
и D
относительно прямой AC
.
Если диагонали AC
и BD
данного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
, то диагонали A_{1}C_{1}
и B_{1}D_{1}
также пересекаются в точке O
, причём A_{1}C_{1}=AC
и B_{1}D_{1}=BD
.
Пусть \angle BOC=\alpha
. Предположим, что \alpha\leqslant90^{\circ}
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Симметричные углы равны, поэтому
\angle BOC_{1}=\angle BOC=\alpha,~\angle COB_{1}=\angle BOC=\alpha.
Тогда
\angle B_{1}OC_{1}==\angle B_{1}OC+\angle BOC+\angle BOC_{1}=3\alpha.
Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, поэтому
\frac{S'}{S}=\frac{\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin3\alpha}{\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha}=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha(3-4\sin^{2}\alpha)}{\sin\alpha}=3-4\sin^{2}\alpha\lt3.
Что и требовалось доказать. Аналогично для остальных случаев (если угол между диагоналями четырёхугольника ABCD
равен \alpha
, то угол между диагоналями четырёхугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен либо 3\alpha
, либо 3\alpha-180^{\circ}
.