3177. Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника. Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. Из условия следует, что углы \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \alpha_{3}
первого треугольника — острые (\cos\alpha_{i}=\sin\beta_{i}\gt0
, где \beta_{1}
, \beta_{2}
, \beta_{3}
— углы второго треугольника). Поэтому \beta_{i}=\frac{\pi}{2}\pm\alpha_{i}
, i=1
, 2
, 3
.
Из равенства
\pi=\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}=\frac{3\pi}{2}+(\pm\alpha_{1}\pm\alpha_{2}\pm\alpha_{3}),
где \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=\pi
, следует, что в скобках как знаки «+
», так и знаки «-
».
Кроме того, во втором треугольнике не может быть двух тупых углов, поэтому в скобках один знак «+
» и два знака «-
». Значит,
\pi=\frac{3\pi}{2}+(\alpha_{1}-\alpha_{2}-\alpha_{3})=\frac{3\pi}{2}+(\alpha_{1}+\alpha_{1}-\pi)=\frac{\pi}{2}+2\alpha_{1},
откуда \alpha_{1}=\frac{\pi}{4}
, т. е. \beta_{1}=\frac{3\pi}{4}
. При этом это единственный тупой угол второго треугольника, а первый треугольник — остроугольный. Следовательно, этот угол наибольший.
Треугольники, о которых говорится в задаче, существуют — например, треугольники с углами 70^{\circ}
, 65^{\circ}
, 45^{\circ}
и 20^{\circ}
, 25^{\circ}
, 135^{\circ}
.
Автор: Агаханов Н. Х.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2004-05, XXXI, окружной этап, 10 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 377, с. 50