3187. Две окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Пусть PQ
и RS
— отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P
и R
лежат на \omega_{1}
, точки Q
и S
— на \omega_{2}
). Оказалось, что RB\parallel PQ
. Луч RB
вторично пересекает \omega_{2}
в точке W
. Найдите отношение \frac{RB}{BW}
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Указание. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
Решение. Пусть прямые AB
и PQ
пересекаются в точке X
. По теореме о касательной и секущей XP^{2}=XB\cdot XA=XQ^{2}
, значит, XP=XQ
, т. е. X
— середина отрезка PQ
. Аналогично прямая AB
проходит через середину Y
отрезка RS
, поэтому XY
— средняя линия трапеции PQSR
. Следовательно, XY\parallel PR
.
Противоположные стороны четырёхугольника PXBR
попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Обозначим BR=PX=a
, BW=x
. Тогда RS=PQ=2a
. По теореме о касательной и секущей RS^{2}=RW\cdot RB
, или 4a^{2}=(a+x)a
. Отсюда находим, что x=3a
. Следовательно,
\frac{RB}{BW}=\frac{a}{x}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2006-07, XXXIII, заключительный этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 5, с. 50