3188. Точка M
— середина стороны AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Докажите, что площадь треугольника CMD
равна полусумме площадей треугольников CAD
и CBD
.
Решение. Пусть AH_{1}
, MH_{2}
и BH_{3}
— высоты треугольников CAD
, CMD
и CBD
. Тогда MH_{2}
— средняя линия прямоугольной трапеции (или прямоугольника) ABH_{3}H_{1}
. Поэтому
MH_{2}=\frac{1}{2}(AH_{1}+BH_{3}).
Следовательно,
S_{\triangle CMD}=\frac{1}{2}CD\cdot MH_{2}=\frac{1}{2}CD\cdot\frac{1}{2}(AH_{1}+BH_{3})=
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}CD\cdot AH_{1}+\frac{1}{2}CD\cdot BH_{3}\right)=\frac{1}{2}(S_{\triangle CAD}+S_{\triangle CBD}).
Что и требовалось доказать.